Question

13．一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車裝配流水線，廠家在每個(gè)星期內(nèi)：投入的固定成本3200元，每輛車的其它投入為100元，生產(chǎn)x輛摩托車的“生產(chǎn)價(jià)值”為-2x²+600x元．注：周利潤(rùn)=“生產(chǎn)價(jià)值”-（周固定成本+摩托車的其它收入）．
（Ⅰ）若這家工廠利用這條流水線，使廠家的周利潤(rùn)不低于16800元，求廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量的取值范圍；
（Ⅱ）求該廠家的每輛摩托車的平均周利潤(rùn)的最大值及此時(shí)廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量的為x，根據(jù)周利潤(rùn)關(guān)系求出對(duì)應(yīng)的解析式，解不等式即可；
（Ⅱ）求出平均周利潤(rùn)y=$\frac{f（x）}{x}$的表達(dá)式，利用基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量的為x，（x≥0且x∈N）；
則周利潤(rùn)f（x）=-2x²+600x-100x-3200=-2x²+500x-3200，
若使廠家的周利潤(rùn)不低于16800元，
即-2x²+500x-3200≥16800，
即2x²-500+20000≤0，
即（x-200）（2x-100）≤0
解：50≤x≤200，
即廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量的取值范圍是50≤x≤200，且x∈N．
（Ⅱ）平均周利潤(rùn)y=$\frac{f（x）}{x}$=-2x+500-$\frac{3200}{x}$=500-（2x+$\frac{3200}{x}$）
≤500-2$\sqrt{2x•\frac{3200}{x}}$=500-2$\sqrt{6400}$=500-2×80=340，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{3200}{x}$，即x=40時(shí)取等號(hào)，
故均周利潤(rùn)的最大值為340及此時(shí)廠家生產(chǎn)摩托車的數(shù)量為40輛．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合一元二次不等式以及基本不等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．