Question

某校舉行中華漢字聽寫選拔賽，考生甲、乙進(jìn)入考察．要求每位考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題進(jìn)行獨(dú)立聽寫．規(guī)定：至少正確完成其中2題的才可通過(guò)考察．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是

2

3

，且每題正確完成與否互不影響．求：
（1）設(shè)考生甲、乙正確完成題數(shù)分別X，Y，分別求出隨機(jī)變量X，Y的分布列及期望；
（2）分析哪個(gè)考生通過(guò)考察的概率較大？

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)甲、乙兩個(gè)考生正確完成的題數(shù)分別為X，Y，X可能取值為1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，能求出
求出隨機(jī)變量X的分布列及期望；Y可能取值是0，1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，能求出求出隨機(jī)變量Y的分布列及期望．
（2）分別求出P（X≥2）和P（Y≥2），由P（X≥2）＞P（Y≥2），得到甲考生通過(guò)考察的概率較大．

解答： 解：（1）設(shè)甲、乙兩個(gè)考生正確完成的題數(shù)分別為X，Y，
則X可能取值為1、2、3，
P（X=1）=

C 2 2 C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P（X=2）=

C 1 2 C 2 4

C 3 6

=

3

5

，
P（X=3）=

C 3 4 C 3 6

=

1

5

，
∴X的分布列為：

X	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴EX=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2．…（5分）
Y可能取值是0，1、2、3，
P（Y=0）=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

，
P（Y=1）=

1

3

×

1

3

×

2

3

+

1

3

×

2

3

×

1

3

+

2

3

×

1

3

×

1

3

=

2

9

，
P（Y=2）=

2

3

×

2

3

×

1

3

+

2

3

×

1

3

×

2

3

=

1

3

×

2

3

×

2

3

=

4

9

，
P（Y=3）=

2

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，
∴Y的分布列為：

Y	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

EY=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2．…（10分）
（2）P（X≥2）=

3

5

+

1

5

=

4

5

，
P（Y≥2）=

4

9

+

8

27

=

20

27

，
∵P（X≥2）＞P（Y≥2），
∴甲考生通過(guò)考察的概率較大．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．