Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）若a＞0，函數(shù)f（x）在x∈[1，3]取得最小值為e，求a的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意得f'（1）=0⇒e（a+2a-2-4）=0⇒a=2，（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過討論a的范圍，從而求出a的值．

解答： 解：f'（x）=e^x[ax²+（2a-2）x-4]（a＞0）
（1）由題意得f'（1）=0
⇒e（a+2a-2-4）=0
⇒a=2，
經(jīng)檢驗，a=2符合題意；
（2）令f′（x）=e^x[ax²+（2a-2）x-4]=0
⇒x₁=-2，或x₂=

2

a

，
∵x∈[1，3]，
∴x=-2（舍去），
當(dāng)

2

a

≤1，即a≥2時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=e（a-4）=e⇒a=5符合，
當(dāng)1＜

2

a

＜3即

2

3

＜a＜2時，f（x）在[1，

2

a

]遞減，在[

2

a

，3]遞增，
∴f（x）_min=f（

2

a

）=e⇒a無解，舍，
當(dāng)

2

a

≥3即a≤

2

3

時，f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（3）=e⇒a=

1

9a2

+

8

9

＞

2

3

，舍，
綜上：a=5．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．