Question

拋物線C：x²=4y，直線AB過拋物線C的焦點F，交x軸于點P．
（Ⅰ）求證：PF²=PA•PB；
（Ⅱ）過P作拋物線C的切線，切點為D（異于原點），
（1）k_DA•k_DF•k_DB是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；
（2）△ABD重心的軌跡是什么圖形，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由于F點的坐標(biāo)已知，設(shè)出AB方程，求出P點坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理能證明PF²=PA•PB．
（Ⅱ）（i）根據(jù)題意分別求出k_DA，k_DF，k_DB，結(jié)合韋達(dá)定理驗證2k_DF=k_DA+k_DB是否成立．
（i）由三角形重心坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理消去參數(shù)k，即得到重心的軌跡．

解答： （Ⅰ）證明：∵拋物線C：x²=4y的焦點F（0，1），
∴設(shè)直線AB為：y=kx+1，
聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
設(shè)P（x₀，0），A（x₁，y₁），F(xiàn)（0，1），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=k²x₁x₁=+k（x₁+x₂）+1
=-4k²+4k²+1=1．
∵

PF

=(-x0，1)，

PA

=(x1-x0，y1)，

PB

=(x2-x0，y2)，
又x0=-

1

k

，

PF

2=

1

k2

+1，

PA

•

PB

=（x₁+

1

k

）（x₂+

1

k

）+y₁y₂
=x₁x₂+

1

k

(x1+x2)+

1

k2

+1
=

1

k2

+1．
∴

PF

2=

PA

•

PB

．
∴PF²=PA•PB．
（Ⅱ）（i）設(shè)D（x，

x

4

），y=

x2

4

的導(dǎo)數(shù)為y′=

x

2

，
∴

x2 4

x+ 1 k

=

x

2

，解得x=-

2

k

，∴D（-

2

k

，

1

k2

），
2kDF=2(

k

2

-

1

2k

)=k-

1

k

，
k_DA+k_DB=

kx1+1- 1 k2

x1+ 2 k

=

kx2+1- 1 k2

x2+ 2 k

=

2k5x1x2+(3k4-k2)(x1+x2)+4k(k2-1)

k2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4]

=

4k(k4-1)

4k2(k2+1)

=k-

1

k

．
∴2k_DF=k_DA+k_DB，
∴k_DA•k_DF•k_DB恒成等差數(shù)列．
（ii）∵△ABD重心坐標(biāo)（x，y），由題意得（-

2

k

+x1+x2，

1

k2

+y1+y2），
即（-

2

k

+4k，

1

k2

+4k2+2），
由

x=- 2 k +4k y= 1 k2 +4k2+2

，消去k，得x2=

4

3

(y-2)，
∴△ABD重心的軌跡是拋物線x2=

4

3

(y-2)．

點評：本題考查PF²=PA•PB的證明，考查等差數(shù)列的判斷，考查三角形重心的軌跡的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意意三角形重心坐標(biāo)公式的合理運用．