【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,分別是橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)記、的面積分別為、,若,求的值;

(Ⅲ)設(shè)線段的中點(diǎn)為,直線與直線相交于點(diǎn),記直線、的斜率分別為、、,求的值.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率和橢圓關(guān)系可求得,進(jìn)而得到橢圓方程;

(Ⅱ)由面積比可得到,由此利用表示出,根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上,代入整理求得,進(jìn)而得到所求斜率;

(Ⅲ)利用點(diǎn)差法可求得,求得點(diǎn)坐標(biāo)后可得到;將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后可求得坐標(biāo),由三點(diǎn)共線可整理得到,進(jìn)而得到;將上述三個(gè)關(guān)系式代入整理可得最終結(jié)果.

(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為

橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,即,

,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn),.

,,又,

,代入坐標(biāo)可得:,即,

又點(diǎn)、在橢圓上,,解得:,

直線的斜率;

(Ⅲ)點(diǎn),在橢圓上,,

兩式相減得:,即,

,即,直線的方程為

得:,即,

又直線的方程為,

與橢圓聯(lián)立整理得:,

,解得:,

點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理可得:點(diǎn)的坐標(biāo)為.

又點(diǎn)、、三點(diǎn)共線,,

整理得:,

由題意知:,,,

可得:,即.

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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