Question

已知真命題：過拋物線y²=2px（p＞0）的頂點O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（2p，0）．類比此命題，寫出關(guān)于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個真命題：

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,推理和證明

分析：首先類比拋物線，得到過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸右端點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN過定點P，然后運用直線和橢圓聯(lián)立方程，應(yīng)用韋達定理求出M，N的坐標(biāo)，得到直線MN的方程，求出定點P（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）．

解答： 解：類比可得：過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸右端點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）．
證明：A（a，0），過A相互垂直的兩直線，可設(shè)為：y=k（x-a），y=-

1

k

（x-a），
由

y=k(x-a) x2 a2 + y2 b2 =1

消去y，得到（b²+k²a²）x²-2a³k²x+a⁴k²-a²b²=0，
由韋達定理得，x₁•a=a•

a3k2-ab2

b2+a2k2

，即M（

a3k2-ab2

b2+a2k2

，

-2kab2

b2+a2k2

），
同理將上面的k換成-

1

k

，可得，N（

a3-ab2k2

a2+b2k2

，

2ab2k

a2+b2k2

），
可得直線MN的方程為y+

2akb2

b2+a2k2

=

k(a2+b2)

a2(1-k2)

（x-

a3k2-ab2

b2+a2k2

），①
可取k=2，3，求出兩直線的交點為（

a(a2-b2)

a2+b2

，0），
代入①式，恒成立，
故直線MN過定點P（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）．
故答案為：過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸右端點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于另外兩點M、N，則直線MN過定點P（

a(a2-b2)

a2+b2

，0）．

點評：本題考查類比推理的思想，但要注意過定點，還需證明求出具體的坐標(biāo)，屬于中檔題．