Question

19．設函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+ax²，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個零點，試求a的取值范圍；
（ III）設函數(shù)g（x）=lnx+x-e^x+1，當a=0時，證明f（x）-g（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），f（1），求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性結合函數(shù)的零點個數(shù)求出a的范圍即可；
（Ⅲ）當a=0時，f（x）-g（x）=（x-1）e^x+e^x-lnx-x-1．設h（x）=xe^x-lnx-x-1，其定義域為（0，+∞），只需證明h（x）＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=xe^x+x²，
因為f'（x）=xe^x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，
則所求的切線方程為y-1=（e+2）（x-1）．
化簡得：y=（e+2）x-e-1．…（3分）
（Ⅱ）因為f'（x）=x（e^x+2a）
①當a=0時，函數(shù)f（x）=（x-1）e^x只有一個零點；
②當a＞0，函數(shù)當x∈（-∞，0）時，f'（x）＜0；
函數(shù)當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
又f（0）=-1，f（1）=a，
因為x＜0，所以x-1＜0，e^x＜1，所以e^x（x-1）＞x-1，所以g（x）＞ax²+x-1
取${x_0}=\frac{{-1-\sqrt{1+4a}}}{2a}$，顯然x₀＜0且g（x₀）＞0
所以f（0）f（1）＜0，f（x₀）f（0）＜0．
由零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)有兩個零點．
③當a＜0時，由f'（x）=x（e^x+2a）=0，得x=0，或x=ln（-2a）．
若$a≥-\frac{1}{2}$，則ln（-2a）≤0．
故當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）在單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）至多有一個零點．
又當x∈（-∞，0）時，f（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上沒有零點．
所以函數(shù)f（x）不存在兩個零點．
若$a＜-\frac{1}{2}$，則ln（-2a）＞0．當（ln（-2a），+∞）時，f'（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（ln（-2a），+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在（ln（-2a），+∞）至多有一個零點．
當x∈（-∞，0）時，f'（x）＞0；當x∈（0，ln（-2a））時，f'（x）＜0；
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單增，（0，ln（-2a））上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-2a））上的最大值為f（0）=-1＜0，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，ln（-2a））上沒有零點．
所以f（x）不存在兩個零點．
綜上，a的取值范圍是（0，+∞）．…（9分） 
（ III）證明：當a=0時，f（x）-g（x）=（x-1）e^x+e^x-lnx-x-1．
設h（x）=xe^x-lnx-x-1，其定義域為（0，+∞），則證明h（x）＞0即可．
因為$h'（x）=（x+1）{e^x}-\frac{x+1}{x}$，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．
又因為$h''（x）=（x+2）{e^x}+\frac{1}{x^2}＞0$，所以函數(shù)h'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
所以h'（x）=0有唯一的實根x₀∈（0，1），且${e^{x_0}}=\frac{1}{x_0}$．
當0＜x＜x₀時，h'（x）＜0；當x＞x₀時，h'（x）＞0．
所以函數(shù)h（x）的最小值為h（x₀）．
所以$h（x）≥h（{x_0}）={x_0}{e^{x_0}}-ln{x_0}-{x_0}-1$=1+x₀-x₀-1=0．
所以f（x）-g（x）≥0．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，函數(shù)零點問題，是一道綜合題．