Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

分析 （1）可以看出x≠0，從而定義域便為{x|x≠0}；
（2）求f（-x），然后和f（x）比較即可得出f（x）的奇偶性；
（3）先將原函數(shù)變成$f（x）=1-\frac{2}{{2}^{x}-1}$，這樣便看出f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，可根據(jù)單調(diào)性的定義證明：定義域內(nèi)設(shè)任意的x₁＜x₂，然后作差，通分，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$，這樣便可得出x₁，x₂∈（0，+∞）或x₁，x₂∈（-∞，0）時，f（x₁）＜f（x₂），這樣便可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）要使f（x）有意義，則：2^x-1≠0；
∴x≠0；
∴該函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}=\frac{{2}^{x}+1}{1-{2}^{x}}=-f（x）$；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（3）$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}=1-\frac{2}{{2}^{x}-1}$；
∴可以看出x增大時，y增大，∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增，用定義證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈{x|x≠0}，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}-1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}-1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又x₁，x₂∈（-∞，0），或x₁，x₂∈（0，+∞）時，$（{2}^{{x}_{1}}-1）（{2}^{{x}_{2}}-1）＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查函數(shù)定義域、奇函數(shù)，及增函數(shù)的定義，判斷函數(shù)奇偶性的方法，以及根據(jù)單調(diào)性的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），是分式的一般要通分．