【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為棱長為2的菱形，，，．

（1）求證：面面；

（2）求直線與面所成角．

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，通過菱形的性質(zhì)得出，，得出為等邊三角形，根據(jù)三邊關(guān)系得出，則，而，根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，而平面，從而可證出平面平面；

（2）由面面垂直的性質(zhì)得出面，則即為與面所成角，通過幾何法求得，即可求出直線與面所成角．

解：（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，

因?yàn)?/span>為菱形，，

所以，，

則為等邊三角形，即可得，

又，

所以在中，，

∴，即，

又知，，

且平面，平面，

所以平面，平面，

即平面平面.

（2）由（1）知平面平面，

因?yàn)?/span>，平面平面，

所以面，

則即為與面所成角，

在中，，，

∴，

∴，

所以直線與面所成角為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點(diǎn)，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．

（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；

（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為紀(jì)念“五四運(yùn)動”100周年，某校團(tuán)委舉辦了中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)知識宣講活動活動結(jié)束后，校團(tuán)委對甲、乙兩組各10名團(tuán)員進(jìn)行志愿服務(wù)次數(shù)調(diào)查，次數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示．

（1）若甲組服務(wù)次數(shù)的平均值不小于乙組服務(wù)次數(shù)的平均值，求圖中所有可能的取值；

（2）團(tuán)委決定對甲、乙兩組中服務(wù)次數(shù)超過15次的團(tuán)員授予“優(yōu)秀志愿者”稱號設(shè)，現(xiàn)從所有“優(yōu)秀志愿者”里任取3人，求其中乙組的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019年4月，北京世界園藝博覽會開幕，為了保障園藝博覽會安全順利地進(jìn)行，某部門將5個安保小組全部安排到指定的三個不同區(qū)域內(nèi)值勤，則每個區(qū)域至少有一個安保小組的排法有（ ）

A.150種B.240種C.300種D.360種

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所支出的維修費(fèi)（萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：

若由資料知，對呈線性相關(guān)關(guān)系．

（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；

（2）估計(jì)使用年限為10年時，維修費(fèi)用約是多少？（精確到兩位小數(shù)）；

（3）計(jì)算第2年和第6年的殘差.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某車站每天上午發(fā)出兩班客車，每班客車發(fā)車時刻和發(fā)車概率如下：第一班車：在8:00，8:20，8:40發(fā)車的概率分別為，，；第二班車：在9:00，9:20，9:40發(fā)車的概率分別為，，．兩班車發(fā)車時刻是相互獨(dú)立的，一位旅客8:10到達(dá)車站乘車．求：

（1）該旅客乘第一班車的概率；

（2）該旅客候車時間（單位：分鐘）的分布列．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，橢圓的利息率為，拋物線與橢圓交于軸上方一點(diǎn)，連接并延長其交拋物線于點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)，且在，之間移動.

（1）當(dāng)取最小值時，求的值；

（2）若的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)，當(dāng)的面積取最大值時，求面積最大值及此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某綜藝節(jié)目為比較甲、乙兩名選手的各項(xiàng)能力(指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，圖中點(diǎn)A表示甲的創(chuàng)造力指標(biāo)值為4，點(diǎn)B表示乙的空間能力指標(biāo)值為3，則下面敘述正確的是

A. 乙的記憶能力優(yōu)于甲的記憶能力

B. 乙的創(chuàng)造力優(yōu)于觀察能力

C. 甲的六大能力整體水平優(yōu)于乙

D. 甲的六大能力中記憶能力最差

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力度．中華技術(shù)有限公司擬對“麒麟”手機(jī)芯片進(jìn)行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技升級投入x（億元與科技升級直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

序號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

x

2

3

4

6

8

10

13

21

22

23

24

25

y

13

22

31

42

50

56

58

68.5

68

67.5

66

66

當(dāng)時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：；模型②：；當(dāng)時，確定y與x滿足的線性回歸方程為．

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時模型①、②的相關(guān)指數(shù)的大小，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“麒麟”手機(jī)芯片科技升級的投入為17億元時的直接收益．

回歸模型

模型①

模型②

回歸方程

182.4

79.2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)，）

（2）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實(shí)際收益的大�。�

（附：用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)：，）

（3）科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實(shí)際試驗(yàn)得X大致服從正態(tài)分布．公司對科技升級團(tuán)隊(duì)的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%，不予獎勵：若芯片的效率超過50%，但不超過53%，每部芯片獎勵2元；若芯片的效率超過53%，每部芯片獎勵4元記為每部芯片獲得的獎勵，求（精確到0.01）．

（附：若隨機(jī)變量，則，）

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