Question

6．若關(guān)于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，且1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，求cosA+cosB+cosC的值．

Answer 1

分析 關(guān)于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0即（c-a）x²+2bx+（a+c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，利用△=0，化為b²+a²=c²．可得C=$\frac{π}{2}$．利用勾股定理及其1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，可得5b²=4bc，即$\frac{c}$=$\frac{4}{5}$，可得cosA，cosB，即可得出．

解答 解：∵關(guān)于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0即（c-a）x²+2bx+（a+c）=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴△=4b²-4（c-a）（c+a）=0，
化為b²+a²=c²．
∴C=$\frac{π}{2}$．
∵1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，
∴a+c=2b，
∴a=2b-c，
∴a²=（2b-c）²=c²-b²，
化為5b²=4bc，
∴$\frac{c}$=$\frac{4}{5}$=cosA，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$=cosB，
∴cosA+cosB+cosC=$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}$+0=$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、直角三角形的邊角關(guān)系、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．