Question

已知函數(shù)f（x）=

∫

x 0

（e^t-e^-t）dt，則不等式f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）的解集為（　�。�

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[2，+∞）
• C、[

  1

  2

  ，2]
• D、（0，

  1

  2

  ]∪[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：定積分,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求定積分得到函數(shù)f（x）的解析式，代入f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）整理，然后利用函數(shù)g（x）=e^x+e^-x的單調(diào)性得到-1≤log_a2≤1．求解對(duì)數(shù)不等式得答案．

解答： 解：∵f（x）=

∫

x 0

（e^t-e^-t）dt=(et+e-t)

|

x 0

=e^x+e^-x-2，
∴f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）等價(jià)于
eloga2+e-loga2-2+eloga

1

2

+e-loga

1

2

-2≤2(e+

1

e

-2)．
即2(eloga2+e-loga2-2)≤2(e+e-1-2)．
eloga2+e-loga2≤e+e-1．
令g（x）=e^x+e^-x，g′（x）=e^x-e^-x為增函數(shù)，
又g（0）=0．
∴當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)．
∴由eloga2+e-loga2≤e+e-1得：-1≤log_a2≤1．
解得：0＜a≤

1

2

或a≥2．
∴不等式f（log_a2）+f（log_a

1

2

）≤2f（1）的解集為（0，

1

2

]∪[2，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中高檔題．