Question

【題目】已知向量，，函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)，又不等式對一切恒成立.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)在區(qū)間的零點為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)根據(jù)利用向量數(shù)量積公式與正弦的和角公式化簡,再根據(jù)題意可得的對稱軸與對稱中心等.同時利用在區(qū)間上單調(diào)求出關(guān)于周期的不等式,繼而求得解析式.

(2)將題意轉(zhuǎn)換為函數(shù)的圖象與的圖象在區(qū)間上有100個交點.再利用函數(shù)的對稱點分析求解即可.

（1）

因為,所以是函數(shù)的一個對稱中心,

由,得為函數(shù)的一條對稱軸,

所以,即

所以.

又因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),所以,

即,又,所以.

又因為所以又所以.

所以.

（2）由題意,方程在區(qū)間上有100個實根,

即函數(shù)的圖象與的圖象在區(qū)間上有100個交點.

由得,

所以為函數(shù)的圖象的一個對稱中心.

易知也是函數(shù)的圖象的對稱中心,

所以與的圖象交點成對出現(xiàn),且每一對均關(guān)于點對稱,

所以. ,

所以=.