Question

10．（1）二階矩陣M=$[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}]$；
（Ⅰ）求點(diǎn)A（1，2）在變換M^-1作用下得到的點(diǎn)A′；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：x-y=4，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出矩陣M的逆矩陣${M}^{-1}=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}]$，從而求出乘積${M}^{-1}[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$，即可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（Ⅱ）可設(shè)l上的任意點(diǎn)為（x，y），在變換M的作用下得到點(diǎn)（x′，y′），從而根據(jù)$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$即可用x，y表示x′，y′，然后帶入x-y=4即可得出直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）detM=1×4-2×3=-2；
∴${M}^{-1}=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}]$；
向量$[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$在線性變換M^-1作用下變?yōu)橄蛄浚?br />${M}^{-1}[\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]=[\begin{array}{l}{-2}&{1}\\{\frac{3}{2}}&{-\frac{1}{2}}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{\frac{1}{2}}\end{array}]$；
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為$（0，\frac{1}{2}）$；
（Ⅱ）（x，y）為直線l上的點(diǎn)，在變換M作用下變成（x′，y′），則：
由$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]=[\begin{array}{l}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}][\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$得：
$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+2y}\\{y′=3x+4y}\end{array}\right.$；
∵（x′，y′）為直線x-y=4上的點(diǎn)；
∴x′-y′=4；
∴（x+2y）-（3x+4y）=4；
整理得：x+y=-2；
即l的方程為x+y=-2．

點(diǎn)評(píng) 考查二階矩陣的概念，以及二階矩陣和向量的乘積運(yùn)算，會(huì)求一個(gè)二階矩陣的逆矩陣，知道點(diǎn)在線性變換的作用下還是一個(gè)點(diǎn)．