Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+a（1-x）．
（Ⅰ）討論：f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出函數(shù)的最大值，再構(gòu)造函數(shù)（a）=lna+a-1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1-x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若a≤0，則f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
若a＞0，則當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞減，
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上無最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=$\frac{1}{a}$取得最大值，最大值為f（$\frac{1}{a}$）=-lna+a-1，
∵f（$\frac{1}{a}$）＞2a-2，
∴l(xiāng)na+a-1＜0，
令g（a）=lna+a-1，
∵g（a）在（0，+∞）單調(diào)遞增，g（1）=0，
∴當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（a）＜0，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（a）＞0，
∴a的取值范圍為（0，1）．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．