Question

給定兩個長度為1的平面向量

OA

和

OB

，它們的夾角為90°，如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運動，若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，則x+y的最大值是

2

．

Answer 1

分析：以O(shè)為原點，OA方向為x軸正方向建立坐標(biāo)系，分別求出A，B的坐標(biāo)，進而根據(jù)

OC

=x

OA

+y

OB

，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可得到x+y的最大值

解答：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則A（1，0），B（0，1）
設(shè)∠AOC=α（0≤α≤

π

2

），則

OC

=（cosα，sinα）．
由

OC

=x

OA

+y

OB

=（x，y）=（cosα，sinα）
則x+y=cosα，sinα=

2

sin（α+

π

4

）（0≤α≤

π

2

），
當(dāng)α+

π

4

=

π

2

時，即α=

π

4

時，x+y的最大值是

2

故答案為：

2

點評：本題考查的知識點是平面向量的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)，其中建立坐標(biāo)系，分別求出A，B，C點的坐標(biāo)，將一個幾何問題代數(shù)化，是解答本題的關(guān)鍵．