Question

【題目】已知三棱柱中，，側(cè)面底面，是的中點(diǎn)，，.

（Ⅰ）求證：為直角三角形；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，；易知為等邊三角形，從而得到，結(jié)合，可根據(jù)線面垂直判定定理得到平面，由線面垂直性質(zhì)知，由平行關(guān)系可知，從而證得結(jié)論；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量法可求得平面和平面的法向量的夾角的余弦值，根據(jù)所求二面角為鈍二面角可得到最終結(jié)果.

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接，

在中，， 是等邊三角形

又為中點(diǎn)

又，，平面 平面

平面

又 為直角三角形

（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系：

令

則，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為

，令，則，

又平面的一個(gè)法向量為

二面角為鈍二面角

二面角的余弦值為：