Question

18．如圖所示，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都為1，且E、F分別為AB，PD的中點．
（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求直線AF與直線CE所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AF∥平面PCE．
（2）求出向量$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CE}$，利用向量法能求出直線AF與直線CE所成角．

解答 （1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，
由已知得A（1，0，0），F(xiàn)（0，0，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），C（0，1，0），E（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PE}$=（1，$\frac{1}{2}$，-1），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
設平面PEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=y-z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}，1，1$），
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}$=0，且AF?平面PEC，
∴AF∥平面PCE．
（2）解：∵$\overrightarrow{AF}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\frac{1}{2}$，0），
設直線AF與直線CE所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CE}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{CE}|}$|=|$\frac{-1}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{\frac{5}{4}}}$|=$\frac{4}{5}$，
∴$θ=arccos\frac{4}{5}$．
∴直線AF與直線CE所成角為arccos$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．