Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9，sinB=cosAsinC，面積S_△ABC=6．
（1）求△ABC的三邊的長(zhǎng)a，b，c；
（2）設(shè)P是△ABC（不含邊界）內(nèi)的一點(diǎn)，P到三邊AC、BC、AB的距離分別是x、y、z且

AP

=

AC

| AC |

+

AB

| AB |

．
①寫出x、y、z所滿足的等量關(guān)系；
②求

2

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：綜合題,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)△ABC中的三邊分別為a、b、c，由三角形內(nèi)角和化簡(jiǎn)sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

，由此化簡(jiǎn)

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面積公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的長(zhǎng)；
（2）①由三角形面積公式將△ABC的面積分為三塊計(jì)算，化簡(jiǎn)得3x+4y+5z=12，即為x、y、z所滿足的等量關(guān)系；
②確定點(diǎn)P在角A的平分線上，x=z，可得2x+y=3（x＞0，y＞0），再利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求

2

x

+

1

y

的最小值．

解答： 解：（1）設(shè)△ABC中角ABC所對(duì)邊分別為a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴結(jié)合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S_△ABC=

1

2

ab=6，∴a=4
結(jié)合c²=a²+b²得c=5
即△ABC的三邊長(zhǎng)a=4，b=3，c=5；
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6
故3x+4y+5z=12；
②∵

AP

=

AC

| AC |

+

AB

| AB |

，
∴點(diǎn)P在角A的平分線上，
∴x=z，∴2x+y=3（x＞0，y＞0），
∴

2

x

+

1

y

=

1

3

(2x+y)(

2

x

+

1

y

)=

1

3

(4+

2x

y

+

2y

x

+1)≥

1

3

(5+4)=3
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)上式取“=”．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了向量的數(shù)量積、三角形的面積公式、勾股定理的知識(shí)，考查了基本不等式，屬于中檔題．請(qǐng)同學(xué)們注意解題過程中轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合和方程思想的運(yùn)用．