Question

函數(shù)f（x）=x³+ax+b（a，b∈R）的圖象記為E，過點A（

1

2

，-

3

8

）作曲線E的切線有且僅有兩條，求a+2b的值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)出切點，求出導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率相等列出方程，由條件知方程有且只有兩個實根，構(gòu)造一個函數(shù)，即只要函數(shù)的兩個極值中有一個為0，即可得到答案．

解答： 解：設(shè)切點P為（m，n），則n=m³+am+b，①
f′（x）=3x²+a，切線的斜率為3m²+a，
又P，A的斜率為

n+ 3 8

m- 1 2

=3m²+a，②
由①②得到，2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

=0．③
由于過點A作曲線E的切線有且僅有兩條，
故③有且只有兩個實根，
令f（m）=2m³-

3

2

m²-

1

2

a-b-

3

8

，則f（m）的一個極值為0，
f′（m）=6m²-3m，
令f′（m）=0即m=0或m=

1

2

，
故f（0）=0或f（

1

2

）=0，
即a+2b=-

3

4

或a+2b=-1．
故a+2b的值為-1或-

3

4

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的一個應(yīng)用：求切線方程，同時考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，注意點A不一定是切點，同時必有一個極值為0，該題屬于中檔題．