Question

如圖，幾何體中，四邊形為菱形，，，面∥面,、、都垂直于面,且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）求幾何體的體積；
（2）求證：為等腰直角三角形；
（3）求二面角的大小.

Answer 1

（1）幾何體的體積為；（2）詳見試題解析；（3）二面角的大小為．

解析
試題分析：（1）將幾何體補(bǔ)成如圖的直四棱柱，利用計(jì)算幾何體的體積；（2）詳見試題解析；（3）取的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/4b/8/1z0ev3.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，所以∥，以分別為軸建立坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的大小．
試題解析：（1）將幾何體補(bǔ)成如圖的直四棱柱，則        3分

（2）連接，交于，因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/b8/a/vyqyq.png" style="vertical-align:middle;" />為菱形，，所以．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ff/b/1yldj4.png" style="vertical-align:middle;" />、都垂直于面,，又面∥面，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ff/b/1yldj4.png" style="vertical-align:middle;" />、、都垂直于面,則，所以，所以為等腰直角三角形．           7分
（3）取的中點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/4b/8/1z0ev3.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，所以∥，以分別為軸建立坐標(biāo)系，則，所以．平面為的中點(diǎn)，平面．由知二面角的大小為．二面角的大小為．
12分
考點(diǎn)：1.幾何體的體積；2.二面角．