Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋2lnx，a∈R.

(Ⅰ)若曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若x>1時(shí)，f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(－∞，1].

【解析】試題分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得斜率為－1，可得，求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
(Ⅱ)運(yùn)用參數(shù)分離，可得在 時(shí)恒成立，令求得導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性即可求得的取值范圍．

試題解析：(Ⅰ)f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x－a＋，

f′(1)＝4－a＝－1 ，a＝5，

f(x)＝x2－5x＋2lnx，f′(x)＝2x－5＋＝，

當(dāng)x>2或0<x<時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)<x<2時(shí)，f′(x)<0，

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0， )，(2，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2).

(Ⅱ)由f(x)>0，得a<在x>1時(shí)恒成立，

令g(x)＝，g′(x)＝

令h(x)＝x2＋2－2lnx，h′(x)＝2x－>0在x>1時(shí)成立，

所以h(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)，h(x)>h(1)＝3>0 .

故g′(x)>0，故g(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)．g(x)>g(1)＝1，

所以a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，1].