Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）與

b

（1，y）共線，設(shè)函數(shù)y=f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）已知△ABC中的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若銳角A滿足f（A-

π

3

）=

3

，且a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）向量向量平行以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，通過三角函數(shù)的周期公式求解函數(shù)f（x）的周期及最大值；
（2）通過f（A-

π

3

）=

3

，求出A，利用a=7，以及正弦定理化簡sinB+sinC=

13 3

14

，求出b+c，利用余弦定理推出bc關(guān)系，求出bc，然后求△ABC的面積．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）與

b

（1，y）共線，
∴

1

2

y-(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=0…（2分）
則y=f（x）=2sin（x+

π

3

），∴f（x）的周期T=2π，…（4分）
當x=2kπ+

π

6

，k∈Z時，f_max（x）=2…（6分）
（2）∵f(A-

π

3

)=

3

，
∴2sin(A-

π

3

+

π

3

)=

3

，∴sinA=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得，
sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，
∴b+c=13…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
得a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，∴bc=40…（11分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

…（12分）

點評：本題考查最新的以及余弦定理的應(yīng)用，向量的平行以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．