Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x+1)

x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，求出x的范圍，通過(guò)討論x的范圍與定義域的關(guān)系，求出遞增區(qū)間和遞減區(qū)間
（Ⅱ）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導(dǎo)函數(shù)研究g（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即得整數(shù)k的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=

1+ln(x+1)

x

知x∈（-1，0）∪（0，+∞）．
∴f′(x)=-

1+(x+1)ln(x+1)

x2(x+1)

，令h（x）=1+（x+1）ln（x+1）
則h′（x）=1+ln（x+1），令h′（x）=0，得x=

1

e

-1
易得h（x）在(-1，

1

e

-1)上遞減，在(

1

e

-1，+∞)上遞增．
∴h(x)min=h(

1

e

-1)=1-

1

e

＞0，∴f′（x）＜0
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-1，0），（0，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞

k

x+1

恒成立，即k＜

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

對(duì)x＞0恒成立．
令g(x)=

(x+1)[1+ln(x+1)]

x

(x＞0)，需k＜g（x）_min即可．
g′(x)=-

1

x2

[1-x+ln(x+1)]．
令ϕ(x)=1-x+ln(x+1)(x＞0)⇒ϕ′(x)=-

x

x+1

＜0
∴ϕ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
又ϕ（2）=ln3-1＞0，ϕ（3）=2ln2-2＜0，
則存在實(shí)數(shù)t∈（2，3），使ϕ（t）=0，即t=1+ln（t+1）
∴g（x）在（0，t）上遞減，在（t，+∞）上遞增．
∴g(x)min=g(t)=

(t+1)[1+ln(t+1)]

t

=t+1∈(3，4)，
故k_max=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值、通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明不等式的數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用．