Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
（1）求f（x）的解析式；
（2）y=f（x）的圖象在區(qū)間[-1，1]上恒在直線y=2x+m的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)f（x）=ax²+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用兩方程相等對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求a，b即可．
（2）轉(zhuǎn)化為x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立問題，找g（x）=x²-3x+1-m在[-1，1]上的最小值讓其大于0即可．

解答： 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，
∴

a=1 b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1
（2）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．
即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
設(shè)g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴g（x）在[-1，1]上遞減．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，
解得m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法．二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移，對(duì)稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起．