精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知橢圓
x2
m
+
y2
n
=1
,常數m、n∈R+,且m>n.
(1)當m=25,n=21時,過橢圓左焦點F的直線交橢圓于點P,與y軸交于點Q,若
QF
=2
FP
,求直線PQ的斜率;
(2)過原點且斜率分別為k和-k(k≥1)的兩條直線與橢圓
x2
m
+
y2
n
=1
的交點為A、B、C、D(按逆時針順序排列,且點A位于第一象限內),試用k表示四邊形ABCD的面積S;
(3)求S的最大值.
分析:(1)求出橢圓的左焦點,設出P、Q坐標,利用若
QF
=2
FP
,和P在橢圓上,求出P、Q坐標,推出直線PQ的斜率;
(2)寫出直線l1:y=kx,l2:y=-kx與橢圓方程聯立,求出A坐標,然后求出四邊形ABCD的面積S;
(3)化簡S的表達式,S=
4mn
n
k
+mk
,利用g(k)=mk+
n
k
(k≥1)
的單調性,求出函數S的最大值.
解答:解:(1)∵m=25,n=21,∴
x2
25
+
y2
21
=1的左焦點為F(-2,0)
.(2分)
設滿足題意的點為P(x0,y0)、Q(0,t).
QF
=2
FP
,
∴(-2,-t)=2(x0+2,y0),
x0=-3
t=-2y0
.(4分)
由點P(x0y0)在橢圓上,得
9
25
+
y
2
0
21
=1,于是y0
4
21
5
.(5分)
kPQ=kQF=
t
2
=-y0
4
21
5
.(6分)
(2)∵過原點且斜率分別為k和-k(k≥1)的直線l1:y=kx,l2:y=-kx關于x軸和y軸對稱,
∴四邊形ABCD是矩形.(8分)
設點A(x0,y0).
聯立方程組
x2
m
+
y2
n
=1
y=kx
,得x2=
mn
n+mk2
.
于是x0是此方程的解,故
x
2
0
=
mn
n+mk2
.
(10分)
S=4x0y0=4k
x
2
0
=
4mnk
n+mk2
 
(k≥1)
.(12分)
(3)由(2)可知,S=
4mnk
n+mk2
=
4mn
n
k
+mk

g(k)=mk+
n
k
(k≥1)
,則g(k)在[1,+∞)上是單增函數.(13分)
理由:對任意兩個實數k1、k2∈[1,+∞),且k1<k2,則g(k1)-g(k2)=mk1+
n
k1
-(mk2+
n
k2
)

=m(k1-k2)+n(
1
k1
-
1
k2
)
=(k1-k2)
mk1k2-n
k1k2
.(14分)
∵m>n>0,k2>k1≥1,∴k1k2>1,mk1k2-n>0.又k1-k2<0,
(k1-k2)
mk1k2-n
k1k2
<0,即g(k1)-g(k2)<0

∴g(k)在[1,+∞)上是單增函數,于是g(k)min=g(1)=m+n.(16分)
S=
4mn
n
k
+mk
4mn
m+n
(當且僅當k=1時,等號成立)

Smax=
4mn
m+n
.(18分)
點評:本題考查直線的斜率,直線與圓錐曲線的綜合問題,考查學生分析問題解決問題的能力,是難度較大題目.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
m
+y2
=1的左、右焦點分別為F1,F2,若橢圓上總存在點P,使得點P在以F1F2為直徑的圓上;
(1)求橢圓離心率的取值范圍;
(2)若AB是橢圓C的任意一條不垂直x軸的弦,M為弦AB的中點,且滿足KAB•KOM=-
1
4
(其中KAB、KOM分別表示直線AB、OM的斜率,O為坐標原點),求滿足題意的橢圓C的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•長寧區(qū)二模)已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓
x2
m
+y2=1(m>1)
和雙曲線
x2
n
-y2=1(n>0)
,P是它們的一個交點,則△F1PF2的形狀是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓的方程為
x2
m
+y2=1(m>0,m≠1),則該橢圓的焦點坐標為
(0,±
1-m
)或(±
m-1
,0)
(0,±
1-m
)或(±
m-1
,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

若方程 
x2
m
+y2=1表示橢圓,則m 范圍是
(0,1)∪(1,+∞)
(0,1)∪(1,+∞)
,已知橢圓 
x2
m
+y2=1的離心率為 
3
2
,則m值為
1
4
或4
1
4
或4

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓
x2
m
+y2=1(m>1)
和雙曲線
x2
n
-y2=1(n>0)
,點P是它們的一個交點,則△F1PF2面積的大小是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案