Question

已知函數(shù)f（x）=2n

1+x2

-x在（0，+∞）上的最小值是a_n（n∈N_+））．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

2

．
（3）在點(diǎn)列A_n（2n，a_n）…．中是否存在兩點(diǎn)A_i，A_j 其中i，j∈N₊，使直線A_iA_j的斜率為1，若存在，求出所有數(shù)對(duì)i，j，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列遞推式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到原函數(shù)的極小值點(diǎn)，求得極小值，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（2）由裂項(xiàng)相消法證明不等式

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

2

；
（3）設(shè)出點(diǎn)列中的兩點(diǎn)A_i（2i，a_i），A_j（2j，a_j）．代入兩點(diǎn)求斜率公式可得答案．

解答： （1）解：由f（x）=2n

1+x2

-x，得f'（x）=

2nx

1+x2

-1．
令f'（x）=0，得x=

1

4n2-1

．
當(dāng)x∈（0，

1

4n2-1

）時(shí)，f'（x）＜0．
當(dāng)x∈（

1

4n2-1

，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上有極小值f（

1

4n2-1

）=

4n2-1

．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

4n2-1

；
（2）證明：∵

1

an2

=

1

4n2-1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

．
（3）解：依題意，設(shè)A_i（2i，a_i），A_j（2j，a_j）．其中i，j∈N₊是點(diǎn)列中的任意兩點(diǎn)，則經(jīng)過這兩點(diǎn)的直線的斜率是：k=

ai-aj

2(i-j)

=

4i2-1 - 4j2-1

2(i-j)

=

4(i2-j2)

2(i-j)( 4i2-1 + 4j2-1 )

=

2(i+j)

( 4i2-1 + 4j2-1 )

＞

2(i+j)

( 4i2 + 4j2 )

=1．
∴不存在這樣的點(diǎn)列，使直線AiAj的斜率為1．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與函數(shù)綜合題，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是較難題．