Question

甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)參加高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽，甲、乙、丙三名同學(xué)分別獲得一等獎(jiǎng)的概率分別為

1

2

，a，a（0＜a＜1），甲、乙、丙三名同學(xué)參加這次高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)記為ξ．
（1）若a=

1

3

時(shí)，求 甲、乙、丙三名同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)人數(shù)不少于兩人的概率．
（2）在概率P（ξ=i）（i=0，1，2，3）中，若P（ξ=1）的值最大，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）P（ξ）是“ξ個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)”的概率．其中ξ的可能取值為0，1，2，3．由此能求出甲、乙、丙三名同學(xué)獲得一等獎(jiǎng)人數(shù)不少于兩人的概率．
（2）P（ξ）是“ξ個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)”的概率．其中ξ的可能取值為0，1，2，3，由此能求出若P（ξ=1）的值最大，實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： （本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）P（ξ）是“ξ個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)”的概率．
其中ξ的可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=2)=2•

1

2

•

1

3

•

2

3

+(1-

1

2

)•

1

3

•

1

3

=

5

18

，
P(ξ=3)=

1

2

•

1

3

•

1

3

=

1

18

．
P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

1

3

…．（5分）
（2）P（ξ）是“ξ個(gè)人獲得一等獎(jiǎng)”的概率．
其中ξ的可能取值為0，1，2，3．
P(ξ=0)=(1-

1

2

)(1-a)2=

1

2

(1-a)2，
P(ξ=1)=

1

2

(1-a)2+(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a2)，
P(ξ=2)=

1

2

C

1 2

a(1-a)+(1-

1

2

)a2=

1

2

(2a-a2)，P(ξ=3)=

1

2

a2=

a2

2

.P(ξ=1)-P(ξ=0)=

1

2

[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a)，P(ξ=1)-P(ξ=2)=

1

2

[(1-a2)-(2a-a2)]=

1-2a

2

，
P(ξ=1)-P(ξ=3)=

1

2

[(1-a2)-a2]=

1-2a2

2

．
由

a(1-a)≥0 1-2a 2 ≥0 1-2a2 2 ≥0

和0＜a＜1，
得0＜a≤

1

2

，即a的取值范圍是(0，  

1

2

]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．