Question

過點M（m，0）（其中m＞a）的直線?與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P、Q兩點，線段PQ的中點為N，設(shè)直線?的斜率為k₁，直線ON（O為坐標(biāo)原點）的斜率為k₂（k₁•k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，則橢圓的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)已知條件求出l的方程，聯(lián)立橢圓的方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理求出x₁+x₂，根據(jù)直線l的方程求出y₁+y₂，這樣即可求得中點N的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出直線ON的斜率k₂，并且求得|k1|+|k2|=|k1|+

b2

|k1|a2

≥

2b

a

=

3

，這樣即可用b表示a，根據(jù)c=

a2-b2

即可用b表示c，這樣即可求出離心率

c

a

．

解答： 解：由已知條件知，直線l的方程為：y=k₁（x-m），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
由

y=k1(x-m) x2 a2 + y2 b2 =1

，得(b2+a2k12)x2-2ma2k12x+a2k12m2-a2b2=0；
∴

x1+x2

2

=

ma2k12

b2+a2k12

，∵y₁+y₂=k₁（x₁-m）+k₁（x₂-m）=k₁（x₁+x₂）-2k₁m
∴

y1+y2

2

=k1

x1+x2

2

-k1m=k1

ma2k12

b2+a2k12

-k1m=

-k1mb2

b2+a2k12

；
∴k2=

-k1mb2

ma2k12

=

-b2

k1a2

；
∴|k1|+|k2|=|k1|+

b2

|k1|a2

≥

2b

a

=

3

；
∴a=

2b

3

，c=

a2-b2

=

4 3 b2-b2

=

b

3

；
∴

c

a

=

1

2

，即該橢圓的離心率為

1

2

．
故選A．

點評：考查直線和橢圓的交點，韋達定理，中點坐標(biāo)公式，根據(jù)坐標(biāo)求斜率的公式，基本不等式．