【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn),且橢圓過點(diǎn).
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若橢圓的右頂點(diǎn)為,直線交橢圓于兩點(diǎn)(與點(diǎn)不重合),且滿足,若點(diǎn)為中點(diǎn),求直線斜率的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)寫出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),得橢圓中,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程得與聯(lián)立可解得,得橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè),設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用教研室可得,,用代可得F點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算中點(diǎn)P坐標(biāo),計(jì)算AP的斜率為,分子分母同時(shí)除以,并換元,得,由基本不等式可得最大值.
試題解析:
(Ⅰ)因?yàn)閽佄锞的焦點(diǎn)為,拋物線與橢圓C有相同的焦點(diǎn)
所以,又橢圓過點(diǎn),所以 解得.
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(Ⅱ)設(shè),
直線AE的方程為,代入橢圓方程,可得
由,可得,,
由于AE⊥AF,只要將上式的換為,可得,,
由P為EF的中點(diǎn),得
則直線AP的斜率為,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
再令,可得,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值;
綜上可得直線AP的斜率的最大值為.
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【題目】已知A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,則在下列各結(jié)論中,不正確的為( )
A. sin2A=sin2B+sin2C+2sinBsinCcos(B+C)
B. sin2B=sin2A+sin2C+2sinAsinCcos(A+C)
C. sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC
D. sin2(A+B)=sin2A+sin2B-2sinBsinCcos(A+B)
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【題目】已知函數(shù)=
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若=,b=1, =,且ab,試求角B和角.
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【題目】已知,若存在,滿足,則稱是的一個(gè)“友好”三角形.
(ⅰ)在滿足下述條件的三角形中,存在“友好”三角形的是__________;(請(qǐng)寫出符合要求的條件的序號(hào)).
①,,; ②,,;
③,,.
(ⅱ)若存在“友好”三角形,且,在另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為__________.
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖:
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?
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【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)求常數(shù)k的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(3)設(shè),且, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0).
(1)證明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范圍.
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【題目】甲乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)完游戲,他們將撲克牌洗勻后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一張.
(1)設(shè)分別表示甲、乙抽到的牌的數(shù)字,寫出甲乙二人抽到的牌的所有情況;
(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽出的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少?
(3)甲乙約定:若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大,則甲勝,反之,則乙勝,你認(rèn)為此游戲是否公平,說明你的理由.
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【題目】設(shè) , , 均為非零向量,已知命題p: = 是 = 的必要不充分條件,命題q:x>1是|x|>1成立的充分不必要條件,則下列命題是真命題的是( )
A.p∧q
B.p∨q
C.(¬p)∧(¬q)
D.p∨(¬q)
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