Question

2．已知雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左右焦點(diǎn)分別是F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)且A在x軸上方，證明：$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$為定值．

Answer 1

分析 分類討論．直線方程代入雙曲線方程，利用向量的數(shù)量積公式、韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．

解答 證明：雙曲線的右焦點(diǎn)為F₂（$\sqrt{5}$，0），左焦點(diǎn)為F₁（-$\sqrt{5}$，0），
（1）當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，A（$\sqrt{5}$，4），B（$\sqrt{5}$，-4），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（2$\sqrt{5}$，4）•（2$\sqrt{5}$，-4）=4，
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為：y=k（x-$\sqrt{5}$），
代入雙曲線方程，消去y得（4-k²）x²+2$\sqrt{5}$k²x─5k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{5}{k}^{2}}{{k}^{2}-4}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}+4}{{k}^{2}-4}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$=（x₁+$\sqrt{5}$，y₁）•（x₂+$\sqrt{5}$，y₂）=x₁x₂+$\sqrt{5}$（xx₁+x₂）+5+k²（xx₁-$\sqrt{5}$）（xx₂-$\sqrt{5}$）=4，
綜上所述，$\overrightarrow{{F}_{1}A}$•$\overrightarrow{{F}_{1}B}$為定值4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式、韋達(dá)定理的運(yùn)用，要注意斜率不存在的情況．