Question

11．是否存在同時滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程；若不存在，說明理由．
（1）漸近線方程是x±2y=0；
（2）點A（5，0）到雙曲線上的動點P的距離的最小值為$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線和其漸近線之間的關系，設出雙曲線的方程，根據(jù)點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離最小值為$\sqrt{6}$，轉化為雙曲線與半徑為$\sqrt{6}$的圓A相切，聯(lián)立消去y得，利用△=0即可求得雙曲線的方程．

解答 解：由漸近線方程為x±2y=0，設雙曲線方程為x²-4y²=m，
∵點A（5，0）到雙曲線上動點P的距離的最小值為$\sqrt{6}$，
說明雙曲線與半徑為$\sqrt{6}$的圓A相切，
圓A方程為（x-5）²+y²=6，與x²-4y²=m聯(lián)立消去y得：4（x-5）²+x²=24+m
化簡得到：5x²-40x+76-m=0，△=40²-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以滿足條件的雙曲線方程為x²-4y²=-4，
即y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
或者雙曲線的頂點在（5+$\sqrt{6}$，0）漸近線為x±2y=0，雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{31+10\sqrt{6}}-\frac{4{y}^{2}}{31+10\sqrt{6}}$=1．
所以所求雙曲線方程為：y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1，$\frac{{x}^{2}}{31+10\sqrt{6}}-\frac{4{y}^{2}}{31+10\sqrt{6}}$=1．

點評 考查雙曲線的簡單的幾何性質，特別是雙曲線方程與其漸近線方程之間的關系，此題設雙曲線方程為x²-4y²=m，避免了討論，條件（2）的設置增加了題目的難度，體現(xiàn)了轉化的思想，屬中檔題．