【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,是的中點,是上一點,且
(1)求證:平面;
(2)若求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)取PA的中點M,連接MD,ME,證明四邊形MDFE是平行四邊形,則,再由直線與平面平行的判定可得面PAD;
(2)過點P作于點H,則平面ABCD,以H為坐標原點,HA所在直線為y軸,過點H且平行于AB的直線為z軸,PH所在直線為x軸建立空間直角坐標系,求出平面ABCD的一個法向量與的坐標,再由兩向量所成角的余弦值可得直線PB與平面ABCD所成角的正弦值.
(1)如圖,取的中點,連接.
則,.
又,,所以,,
所以四邊形是平行四邊形,所以,
因為面,面,所以
(2)過點作于點,則平面,以為坐標原點,所在直線為軸,過點且平行于的直線為軸,所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
在等腰三角形中,,,
因為,所以,
解得.
則,所以,所以.
易知平面的一個法向量為,
所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的極小值為,求的值;
(2)若,證明:當時,成立.
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【題目】過拋物線y2=4x的焦點的直線l與拋物線交于A,B兩點,設(shè)點M(3,0).若△MAB的面積為,則|AB|=( )
A.2B.4C.D.8
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標原點為極點.x軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程;
(Ⅱ)射線與曲線C2交于O,P兩點,射線與曲線C1交于點Q,若△OPQ的面積為1,求|OP|的值.
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【題目】已知雙曲線C:1(a>0,b>0)的焦點分別為F1(﹣5,0),F2(5,0),P為C上一點,PF1⊥PF2,tan∠PF1F2,則C的方程為( )
A.x21B.y2=1
C.1D.1
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知定點F(1,0),點A在x軸的非正半軸上運動,點B在y軸上運動,滿足0,A關(guān)于點B的對稱點為M,設(shè)點M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)已知點G(3,﹣2),動直線x=t(t>3)與C相交于P,Q兩點,求過G,P,Q三點的圓在直線y=﹣2上截得的弦長的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,BC=1,,E為PB中點.
(Ⅰ)求證:PD∥平面ACE;
(Ⅱ)求證:PD⊥平面PBC;
(Ⅲ)求三棱錐E-ABC的體積.
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【題目】已知橢圓的離心率為,過定點的直線l與橢圓E相交于A,B兩點,C為橢圓的左頂點,當直線l過點時,(O為坐標原點)的面積為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)求證:當直線l不過C點時,為定值.
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