Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=k

x-1

x+1

，
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）＞g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證：ln（1+

1

12

）+ln（1+

1

22

）+…+ln（1+

1

n2

）＞

n

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求F′（x）=

x2+(2-2k)x+1

x(x+1)2

，要求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間，需要判斷F′（x）的符號(hào)．而導(dǎo)函數(shù)的分子上是一個(gè)二次函數(shù)，所以討論k的取值，從而判斷二次函數(shù)值的符號(hào)，從而判斷出F（x）的單調(diào)性，找到它的單調(diào)區(qū)間．
（2）由函數(shù)f（x）＞g（x）恒成立，便得到f（x）-g（x）＞0恒成立，所以根據(jù)（1）的單調(diào)性就可求出k的取值范圍．
（3）通過(guò)觀察要證明的不等式，只要讓不等式的左邊每一項(xiàng)都大于

1

n+1

即可，所以構(gòu)造函數(shù)G（x）=1+

1

x2

-

1

x+1

，只需證明G（x）＞0即可．

解答： 解：（1）F（x）=lnx-k

x-1

x+1

，∴F′（x）=

1

x

-

2k

(x+1)2

=

x2+(2-2k)x+1

x(x+1)2

；
①若（2-2k）²-4≤0，即0≤k≤2，x∈（0，+∞）時(shí)，x²+（2-2k）x+1≥0，∴F′（x）≥0；
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，（0，+∞）是它的單調(diào)遞增區(qū)間．
②若（2-2k）²-4＞0，即k＜0，或k＞2，方程x²+（2-2k-）x+1=0的解是x=k-1±

k2-2k

；
當(dāng)k-1+

k2-2k

＜0，即k＜1，且k＜0，∴k＜0時(shí)，x∈（0，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，（0，+∞）是它的單調(diào)遞增區(qū)間．
當(dāng)k-1-

k2-2k

＜0，且k-1+

k2-2k

＞0，則不存在符合該條件的k，所以這種情況不存在．
當(dāng)k-1-

k2-2k

＞0，即k＞1，且k＞2，∴k＞2時(shí)，x∈（0，k-1-

k2-2k

）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；x∈[k-1-

k2-2k

，k-1+

k2-2k

）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；x∈[k-1+

k2-2k

，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0；
∴函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，k-1-

k2-2k

）和[k-1+

k2-2k

，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是[k-1-

k2-2k

，k-1+

k2-2k

）．
（2）令F（x）=f（x）-g（x），且F（1）=0，∴只要x＞1時(shí)F（x）＞F（1）即可，即F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
由（1）知：0≤k≤2時(shí)，F(xiàn)（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴0≤k≤2符合題意；F（x）在[k-1+

k2-2k

，+∞）單調(diào)遞增，∴k-1+

k2-2k

≤1，∴k≥1，且k＞2，∴k＞2．
綜上可得：k的取值范圍是[0，+∞）．
（3）設(shè)h（x）=ln（1-

1

x2

），μ（x）=

1

x+1

，下面我們證，在[1，+∞）上，h（x）＞μ（x）．
要證ln(1+

1

x2

)＞

1

x+1

，只要證1+

1

x2

＞e

1

x+1

，即證1+

1

x2

-e

1

x+1

＞0；
設(shè)G（x）=1+

1

x2

-e

1

x+1

，G′（x）=-

2

x3

+

e 1 x+1

(x+1)2

，要使G′（x）＞0，我們可以讓x³＞2（x+1）²，即x³-2（x+1）²＞0；
∴設(shè)φ（x）=x³-2（x+1）²，φ′（x）=3x²-4x-4；
∴x≥2時(shí)，3x²-4x-4＞0，即φ′（x）＞0，∴φ（x）≥φ（2）=7＞0；
∴G′（x）＞0，∴G（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，∴G（x）≥G（2）=ln

5

4

-

1

3

，由（2）知，x＞1時(shí)，lnx＞k

x-1

x+1

，這時(shí)取x=

5

4

，k=3，便有ln

5

4

＞

1

3

，∴G（2）＞0，∴在[2，+∞）上G（x）＞0，∴ln(1+

1

x2

)＞

1

x+1

；
又ln(1+

1

12

)＞

1

1+1

，所以：
ln(1+

1

12

)＞

1

1+1

＞

1

n+1

ln(1+

1

22

)＞

1

2+1

＞

1

n+1

…
ln(1+

1

n2

)＞

1

n+1

∴ln(1+

1

12

)+ln(1+

1

22

)+…+ln(1+

1

n2

)＞

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性判斷兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系．第一問(wèn)通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，就變成了判斷二次函數(shù)值符號(hào)的問(wèn)題了，而第二問(wèn)要注意利用上（1）的結(jié)論，第三問(wèn)的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)G（x）．