Question

【題目】已知函數．

（1）若函數在處的切線方程，求實數a，b的值；

（2）若函數在和兩處得極值，求實數a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若．求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），．（2）（3）

【解析】

(1)對函數進行求導,將代入,可以求得實數的值;

(2)對函數的導數再進行求導,對進行分情況討論,在不同情況下,函數都有兩個極值，從而求出實數的取值范圍;

(3) 由題意得: ,即，令則,令,求導可得在上單調遞減,則,即．

由于,構造函數,求導可知在上單調遞減,計算即可得出結果.

解：（1）

由題意得：，即，

，即，所以，．

（2）由題意知：有兩個零點，，

令，而，

①當時，恒成立，

所以單調遞減，此時至多個零點（舍）．

②當時，令，解得：，

在上單調遞減，在上單調遞增，

所以．

因為有兩個零點，所以，

解得：．

因為，，且，

而在上單調遞減，

所以在上有1個零點．

又因為（易證），

則且，

而在上單調遞增，

所以在上有1個零點，

綜上：．

（3）由題意得：，即，

所以，令，

即，

令，，

令．而，

所以在上單調遞減，即，

所以在上單調遞減，即．

因為，，

令，而恒成立，

所以在上單調遞減，又，

所以．