Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，則稱區(qū)間M為函數(shù)f（x）的一個(gè)“穩(wěn)固區(qū)間”．現(xiàn)有四個(gè)函數(shù)：
①f（x）=e^x；
②f（x）=x³；
③f（x）=sinx；
④f（x）=x²-2x+2．
其中存在“穩(wěn)固區(qū)間”的函數(shù)有

 

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Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)“穩(wěn)定區(qū)間”的定義，我們要想說(shuō)明函數(shù)存在“穩(wěn)定區(qū)間”，我們只要舉出一個(gè)符合定義的區(qū)間M即可，但要說(shuō)明函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”，我們可以用反證明法來(lái)說(shuō)明．由此對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一進(jìn)行判斷，即可得到答案．

解答： 解：：①對(duì)于函數(shù)f（x）=e^x 若存在“穩(wěn)定區(qū)間”[a，b]，由于函數(shù)是定義域內(nèi)的增函數(shù)，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有兩個(gè)解，即y=e^x和y=x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，這與即y=e^x和y=x的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)相矛盾，
故①不存在“穩(wěn)定區(qū)間”．
②對(duì)于f（x）=x³ 存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，若正弦函數(shù)存在等值區(qū)間[a，b]，則在區(qū)間[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函數(shù)的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在區(qū)間]⊆[-1，1]上僅有sin0=0，所以函數(shù)f（x）=sinx沒(méi)有“穩(wěn)固區(qū)間”．
對(duì)于④f（x）=x²-2x+2，存在“穩(wěn)定區(qū)間”，如 x∈[1，2]時(shí)，f（x）∈[1，2]．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的概念及其構(gòu)造要求，在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)沒(méi)有“穩(wěn)定區(qū)間”時(shí)，利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象結(jié)合反證法證明是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．