Question

函數(shù)f（x）=lnx-

1

x-1

在區(qū)間（k，k+1）（k∈N^*）上存在零點，則k的值為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1），及（1，+∞）都是單調(diào)增的，再根據(jù) f（

1

e2

）＜0，f（

1

e

）＞0，可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，故函數(shù)f（x）在區(qū)間
（

1

e2

，

1

e

）上有一個零點，故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有一個零點，故k=0滿足條件．
同理由 f（2）f（3）＜0，可得函數(shù)在（2，3）上存在1個零點，故k=2滿足條件，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：由函數(shù)的解析式可得函數(shù)的定義域為{x|x＞0 且x≠1}，
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

+

1

(x-1)2

 在它的定義域內(nèi)為正實數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1），及（1，+∞）都是單調(diào)遞增的，
再根據(jù) f（

1

e2

）=-2+

e2

e2-1

=-1+

1

e2-1

＜0，f（

1

e

）=-1+

e

e-1

=

1

e-1

＞0，
可得 f（

1

e2

）f（

1

e

）＜0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e2

，

1

e

）上有一個零點，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有一個零點，
故k=0滿足條件．
再由 f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3-

1

2

＞0，
∴f（2）f（3）＜0，
可得函數(shù)在（2，3）上存在1個零點，
故k=2滿足條件．
故答案為：0或2．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題