【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形, ,點在線段上,且, 為的中點.
(Ⅰ)若,求證:平面平面;
(Ⅱ)若平面平面, 為等邊三角形,且,求三棱錐的體積.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:⑴由得,底面為菱形, ,利用面面垂直判定定理證明;
⑵法一:由面面,推出,計算出,則;法二:推出面, ,先計算出, ,,然后
解析:(Ⅰ)∵PA=PD,AO=OD,∴PO⊥AD,
又∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴BO⊥AD,
PO∩BO=O,∴AD⊥平面POB
又AD平面PAD,∴平面POB⊥平面PAD;
(Ⅱ)方法一
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊥AD,
∴PO⊥平面ABCD,
∵平面ABCD
∴PO⊥OB
∵為等邊三角形, ,∴,
∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,∴
∴
由(Ⅰ) AD⊥平面POB∴BC⊥平面POB
∴
方法二
∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊥AD,
∴PO⊥平面ABCD,
∵為等邊三角形, ,∴,
∵底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,
由(Ⅰ)BO⊥AD∴
∵PM=2MC
∴
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年5月14日,第一屆“一帶一路”國際高峰論壇在北京舉行,為了解不同年齡的人對“一帶一路”關(guān)注程度,某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15-75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查, 經(jīng)統(tǒng)計“青少年”與“中老年”的人數(shù)之比為9:11
關(guān)注 | 不關(guān)注 | 合計 | |
青少年 | 15 | ||
中老年 | |||
合計 | 50 | 50 | 100 |
(1)根據(jù)已知條件完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為關(guān)注“一帶一路”是否和年齡段有關(guān)?
(2)現(xiàn)從抽取的青少年中采用分層抽樣的辦法選取9人進(jìn)行問卷調(diào)查.在這9人中再選取3人進(jìn)行面對面詢問,記選取的3人中關(guān)注“一帶一路”的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:參考公式,其中
臨界值表:
0.05 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】世界那么大,我想去看看,處在具有時尚文化代表的大學(xué)生們旅游動機(jī)強(qiáng)烈,旅游可支配收入日益增多,可見大學(xué)生旅游是一個巨大的市場.為了解大學(xué)生每年旅游消費支出(單位:百元)的情況,相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某大學(xué)的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表:
組別 | |||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)求所得樣本的中位數(shù)(精確到百元);
(Ⅱ)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費用支出服從正態(tài)分布,若該所大學(xué)共有學(xué)生人,試估計有多少位同學(xué)旅游費用支出在元以上;
(Ⅲ)已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費用支出在范圍內(nèi)的名學(xué)生中有名女生, 名男生,現(xiàn)想選其中名學(xué)生回訪,記選出的男生人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
附:若,則,
, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求, 的值;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】棱臺的三視圖與直觀圖如圖所示.
(1)求證:平面平面;
(2)在線段上是否存在一點,使與平面所成的角的正弦值為?若存在,指出點的位置;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的一個焦點與拋物線的焦點重合,且過點.過點的直線交橢圓于, 兩點, 為橢圓的左頂點.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)求面積的最大值,并求此時直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意,都有恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】依據(jù)某地某條河流8月份的水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)所繪制的頻率分布直方圖如圖(甲)所示;依據(jù)當(dāng)?shù)氐牡刭|(zhì)構(gòu)造,得到水位與災(zāi)害等級的頻率分布條形圖如圖(乙)所示.
試估計該河流在8月份水位的中位數(shù);
(1)以此頻率作為概率,試估計該河流在8月份發(fā)生1級災(zāi)害的概率;
(2)該河流域某企業(yè),在8月份,若沒受1、2級災(zāi)害影響,利潤為500萬元;若受1級災(zāi)害影響,則虧損100萬元;若受2級災(zāi)害影響則虧損1000萬元.
現(xiàn)此企業(yè)有如下三種應(yīng)對方案:
方案 | 防控等級 | 費用(單位:萬元) |
方案一 | 無措施 | 0 |
方案二 | 防控1級災(zāi)害 | 40 |
方案三 | 防控2級災(zāi)害 | 100 |
試問,如僅從利潤考慮,該企業(yè)應(yīng)選擇這三種方案中的哪種方案?說明理由.
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