Question

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－ )上單調(diào)遞減，在(－， )上單調(diào)遞增，在(，＋∞)上單調(diào)遞減；（2）實(shí)數(shù)m的取值范圍為[1，＋∞).

【解析】試題分析：(Ⅰ)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，分別解不等式和可得單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ) 令，首先得到，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，得到在上單調(diào)遞減，則，對(duì)分為和兩種情形，判斷和0的關(guān)系，得到的單調(diào)性，進(jìn)而得到其與的關(guān)系，從而可得結(jié)論.

試題解析：(Ⅰ)由已知得，當(dāng)，即時(shí)， 或；當(dāng)，即時(shí)， ，所以f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(Ⅱ)令， ，

由已知可得，即，下面只要考慮的情況即可．

g′(x)＝(2－x2)ex－1－m，令h(x)＝(2－x2)ex－1－m，則h′(x)＝－(x2＋2x－2)ex－1，

因?yàn)閤≥1，所以x2＋2x－2>0，所以h′(x)<0，

所以h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，即g′(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，則g′(x)≤g′(1)＝1－m.

①當(dāng)1－m≤0，即m≥1時(shí)，此時(shí)g′(x)≤0，所以g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(1)＝0，滿足條件；

②當(dāng)1－m>0，即－1≤m<1時(shí)，此時(shí)g′(1)>0，g′(2)＝－2e－m<0，所以存在x0∈(1，2)，使得g′(x0)＝0，則當(dāng)1<x<x0時(shí)，g′(x)>0；

當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在[1，x0]上單調(diào)遞增，在(x0，＋∞)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x∈[1，x0]時(shí)，g(x)≥g(1)＝0，此時(shí)不滿足條件．

綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．