【題目】已知圓,圓心為,定點(diǎn), 為圓上一點(diǎn),線段上一點(diǎn)滿足,直線上一點(diǎn),滿足

(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ)為坐標(biāo)原點(diǎn), 是以為直徑的圓,直線相切,并與軌跡交于不同的兩點(diǎn).當(dāng)且滿足時(shí),求面積的取值范圍.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .

【解析】試題分析(Ⅰ)分析題意可得點(diǎn)滿足的幾何條件,根據(jù)橢圓的定義可得軌跡,從而可求得軌跡方程;(Ⅱ)先由直線相切得到,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,并結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得,由,進(jìn)一步得到k的范圍,最后根據(jù)三角形面積公式并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍。

試題解析

(Ⅰ)∵

為線段中點(diǎn)

為線段的中垂線

∴由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓,

設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,

, ,

。

∴點(diǎn)的軌跡的方程為。

(Ⅱ)∵圓與直線相切,

,即,

,消去.

∵直線與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn),

,

代入上式,可得,

設(shè), ,

,

,

,

,解得.滿足。

,

設(shè),則.

,

面積的取值范圍為。

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③若,則點(diǎn)的軌跡是圓;

④若,則點(diǎn)的軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;

⑤若直線斜率之積等于,則點(diǎn)的軌跡是橢圓(除長軸兩端點(diǎn)).

其中正確的是__________(填序號(hào)).

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