【題目】已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若sin2 A+sin2 B=sin2C+sin AsinB,ccosB=b(1﹣cosC).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)在△ABC的邊AB,AC上分別取D,E兩點,使沿線段DE折疊三角形時,頂點A正好落在邊BC上的P點處,設∠BDP=θ,當AD最小時,求 的值.
【答案】
(1)解:由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB得a2+b2=c2+ab
∴
又0<C<π∴
又由 ccosB=b(1﹣cosC)得:sinCcosB=sinB(1﹣cosC)
∴sinCcosB+sinBcosC=sinB∴sin(B+C)=sinB
即sinA=sinB∴a=b
故△ABC為等邊三角形
(2)解:如圖:連結AP,
∵AD=DP∴θ=2∠BAP
∴
又設AD=DP=y,AB=a,則BD=a﹣y
在△BDP中,由正弦定理有:
∴
故
∴ 時
此時
【解析】(1)利用正弦定理以及余弦定理,結合兩角和與差的三角函數(shù),判斷三角形的形狀.(2)連結AP,設AD=DP=y,AB=a,則BD=a﹣y,由正弦定理求出表達式,通過三角函數(shù)的最值求解就.
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【題目】如圖,在四棱錐中, 是的中點,底面為矩形, , , ,且平面平面,平面與棱交于點,平面與平面交于直線.
(1)求證: ;
(2)求與平面所成角的正弦值為,求的余弦值.
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【題目】(1)求與直線3x+4y-7=0垂直,且與原點的距離為6的直線方程;
(2)求經(jīng)過直線l1:2x+3y-5=0與l2:7x+15y+1=0的交點,且平行于直線x+2y-3=0的直線方程.
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【題目】設△ABC的內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,已知A=60°,a= ,sinB+sinC=6 sinBsinC,則△ABC的面積為 .
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程;
(2)已知點是曲線上一點,求點到直線的最小距離.
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【題目】某工廠隨機抽取部分工人調(diào)查其上班路上所需時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),若上班路上所需時間的范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].
(1)求直方圖中a的值;
(2)如果上班路上所需時間不少于1小時的工人可申請在工廠住宿,若招工2400人,請估計所招工人中有多少名工人可以申請住宿;
(3)該工廠工人上班路上所需的平均時間大約是多少分鐘.
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【題目】已知雙曲線C: (a>0,b>0)過點A(1,0),且離心率為
(1)求雙曲線C的方程;
(2)已知直線x﹣y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓x2+y2=5上,求m的值.
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