Question

5．已知函數(shù)f（θ）=2sin（$\frac{π}{4}$+θ）[$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+θ）+cos（$\frac{π}{4}$+θ）]，設(shè)角A為△ABC的內(nèi)角，滿足f（A）=$\sqrt{3}$+1．
（1）求角A的大��；
（2）若a=3，BC邊上的中線長為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）把已知由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡，代入f（A）=$\sqrt{3}$+1，結(jié)合A的范圍求解A的值；
（2）分別在三角形ABC、三角形ADB、三角形ADC中運(yùn)用余弦定理結(jié)合已知條件求得AB•AC的值，代入三角形的面積公式得答案．

解答 解：f（θ）=2sin（$\frac{π}{4}$+θ）[$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$+θ）+cos（$\frac{π}{4}$+θ）]
=2$\sqrt{3}$sin2（$\frac{π}{4}$+θ）+2sin（$\frac{π}{4}$+θ）cos（$\frac{π}{4}$+θ）
=$\sqrt{3}$[1-cos（$\frac{π}{2}$+2θ）]+sin（$\frac{π}{2}$+2θ）
=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$sin2θ+cos2θ
=$\sqrt{3}$+2sin（2θ+$\frac{π}{6}$）．
（1）由f（A）=$\sqrt{3}$+1，A∈（0，π），得$\sqrt{3}$+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$+1，
可得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）如圖，
在△ABC中，設(shè)BC中點(diǎn)為D，∠ADB=α，則∠ADC=π-α，
則BC²=AC²+AB²-2AB•ACcos$\frac{π}{3}$，
AB²=AD²+BD²-2AD•BDcosα，
AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos（π-α），
又AD=3，BD=DC=$\frac{3}{2}$，
聯(lián)立以上各式求得：AB•AC=$\frac{27}{2}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•ACsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{27\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．