Question

已知函數(shù)．（a∈R）．
（I）當(dāng)a=0時，求曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程（e=2.718…）；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：（I）將a=0代入，對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)得到切線的斜率k=f′（e），切點(diǎn)為（e，f（e）），根據(jù)點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；
（II）由題意知先求導(dǎo)數(shù)，f（x）在（1，e]內(nèi)單調(diào)性．下面對a進(jìn)行分類討論：①當(dāng)a≤0時，②當(dāng)時，③當(dāng)時，④當(dāng)時，由此可知f（x）的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；
解答：解：（ I）當(dāng)a=0時，f（x）=x-xlnx，f'（x）=-lnx，…（2分）
所以f（e）=0，f'（e）=-1，…（4分）
所以曲線y=f（x）在（e，f（e））處的切線方程為y=-x+e．…（5分）
（ II）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），…（6分）
①當(dāng)a≤0時，2ax-1＜0，在（0，1）上f'（x）＞0，在（1，+∞）上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上遞減； …（8分）
②當(dāng)時，在（0，1）和上f'（x）＞0，在上f'（x）＜0
所以f（x）在（0，1）和上單調(diào)遞增，在上遞減；…（10分）
③當(dāng)時，在（0，+∞）上f'（x）≥0且僅有f'（1）=0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                …（12分）
④當(dāng)時，在和（1，+∞）上f'（x）＞0，在上f'（x）＜0
所以f（x）在和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在上遞減…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．