Question

已知sina+sinb=

2

2

，求cosa+cosb的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：令所求表達(dá)式為t，通過(guò)平方關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過(guò)三角函數(shù)的有界性求出t的范圍即可．

解答： 解：設(shè)cosa+cosb=t
sina+sinb=

2

2

，（sina+sinb）²=

1

2

∴sin²a+2sinbsina+sin²b=

1

2

，…①
∵cosa+cosb=t，∴（cosa+cosb）²=t² ，
即cos²a+2cosbcosa+cos²b=t²…②，
①+②可得：2+2（cosacosb+sinasinb）=

1

2

+t²，
即2cos（a-b）=t²-

3

2

，
∴cos（a-b）=

2t2-3

4

，
∵cos（a-b）∈[-1，1]
∴-1≤

2t2-3

4

≤1，
-4≤2t²-3≤4
∴-1≤2t²≤7
解得：0≤t²≤

7

2

即：-

14

2

≤t≤

14

2

．
cosa+cosb的取值范圍：[-

14

2

，

14

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查計(jì)算能力．