【題目】如圖,在四棱錐 中, , , 是 的中點(diǎn), 是棱 上的點(diǎn), , , , .
(1)求證:平面 底面 ;
(2)設(shè) ,若二面角 的平面角的大小為 ,試確定 的值.
【答案】
(1)
證明:∵AD//BC,BC= ,Q是AD的中點(diǎn),
∴BC DQ,則四邊形BCDQ為平行四邊形,從而CD//BQ.
∵AD⊥CD,∴QB⊥AD.
∵PA=PD=2,AD=2,Q是AD的中點(diǎn),∴
又∵QB=CD= ,
∴ ,即PQ⊥QB,又PQ AD=Q,∴BQ⊥平面PAD,∴平面PAD⊥底面ABCD.
(2)
解:∵PA=PD=2,Q是AD的中點(diǎn),∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD 平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如圖,以Q為原點(diǎn)建空間直角坐標(biāo)系.
則平面BQC的法向量為
設(shè) ,則 ,∵ ,∴
則 ,即 , , ,在平面MBQ中, , ,設(shè)平面MBQ的法向量為 ,由 ,得 ,取f=t,得 .∴平面MBQ的一個(gè)法向量為
∵二面角M-BQ-C的平面角的大小為30°,∴ ,解得t=3.
【解析】本題主要考查空間直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與直線垂直的判定與性質(zhì),二面角等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,推理論證能力,運(yùn)算求解能力,以及數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定和平面與平面垂直的判定,掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想;一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),給出命題p:函數(shù)f(x)=(a﹣ )x是R上的減函數(shù),命題q:關(guān)于x的不等式( )|x﹣1|≥a的解集為.
(1)若p為真命題,求a的取值范圍;
(2)若q為真命題,求a的取值范圍;
(3)若“p且q”為假命題,“p或q”為真命題,求a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ( e為自然對數(shù)的底數(shù)),且f(3a﹣2)>f(a﹣1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若關(guān)于的不等式恰好有4個(gè)整數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn).研究表明:“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí),某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數(shù).當(dāng)不超過尾/立方米時(shí), 的值為千克/年;當(dāng)時(shí), 是的一次函數(shù),且當(dāng)時(shí), .
()當(dāng)時(shí),求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式.
()當(dāng)養(yǎng)殖密度為多大時(shí),每立方米的魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達(dá)到最大?并求出最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)列An(an , bn)(n∈N*)均為函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象上,點(diǎn)列Bn(n,0)滿足|AnBn|=|AnBn+1|,若數(shù)列{bn}中任意連續(xù)三項(xiàng)能構(gòu)成三角形的三邊,則a的取值范圍為( )
A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1, )
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,7},B={x|x=log2(a+1),a∈A},則A∩B=( )
A.{1,3}
B.{5,6}
C.{4,5,6}
D.{4,5,6,7}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,過點(diǎn)A(0,﹣b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點(diǎn)E(﹣1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn),問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請說明理由.
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