Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

2

3

，且過點(diǎn)（3

3

，

5

），點(diǎn)A、B分別是橢圓C 長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是直角三角PAF的外接圓圓心，求橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用離心率為

2

3

，且過點(diǎn)（3

3

，

5

），建立方程，可得a²=36，b²=20，從而可求橢圓G的方程；
（2）由（1）可得點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），F(xiàn)（0，4），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），利用PA⊥PF，點(diǎn)P在橢圓上，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；                                        
（3）確定M的坐標(biāo)，求出橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離，利用配方法，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則
∵離心率為

2

3

，且過點(diǎn)（3

3

，

5

），
∴

c

a

=

2

3

，

27

a2

+

5

b2

=1，
∴a²=36，b²=20，
∴橢圓C的方程

x2

36

+

y2

20

=1；
（2）由（1）可得點(diǎn)A（-6，0），B（6，0），F(xiàn)（0，4）…（6分）
設(shè)點(diǎn)P（x，y），則

AP

=（x+6，y），

FP

=（x-4，y），
∵PA⊥PF，
∴（x+6）（x-4）+y²=0
與橢圓方程聯(lián)立得2x²+9x-18=0，
∴x=

3

2

或x=-6．由于y＞0，只能x=

3

2

，于是y=

5 3

2

       …（8分）
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

3

2

，

5 3

2

）                                             …（9分）
（3）∵M(jìn)是直角三角PAF的外接圓圓心，
∴M（-1，0），
∴橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離d=

(x+1)2+y2

=

4 9 (x+ 9 4 )2+ 75 4

，
∵-6≤x≤6，
∴x=-

9

4

時(shí)，d取得最小值

5 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離，考查配方法的運(yùn)用，屬于中檔題．