Question

已知函數(shù)f（x）=ax-

3

2

x²的最大值不大于

1

6

，
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x∈[

1

4

，

1

2

]時．f（x）≥

1

8

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）對函數(shù)配方可得f(x)=-

3

2

(x-

a

3

)2+

1

6

a2，從而求最大值，得到實數(shù)a的取值范圍；
（2）討論a的不同取值時函數(shù)f（x）的最小值的取值，代入求出實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）函數(shù)f(x)=-

3

2

(x-

a

3

)2+

1

6

a2的對稱軸為x=

a

3

，
f(x)max=

1

6

a2≤

1

6

，
解得-1≤a≤1．
2）當-1≤a＜

3

4

時，

a

3

＜

1

4

，
函數(shù)f（x）在[

1

4

，

1

2

]上單調(diào)遞減，又　f(x)≥

1

8

，
得　f(x)min=f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

≥

1

8

，
解得　a≥1與-1≤a＜

3

4

矛盾．
當

3

4

≤a≤1時，

1

4

≤

a

3

≤

1

3

，
此時|

1

2

-

a

3

|-|

a

3

-

1

4

|=

1

4

＞0，
此時函數(shù)f（x）在[

1

4

，

1

2

]上的最小值是f(

1

2

)=

a

2

-

3

8

，
由題意可得

a

2

-

3

8

≥

1

8

，
解得　a≥1，而

3

4

≤a≤1，
綜上可知a=1．

點評：本題考查了二次函數(shù)的最值，應用到了配方法及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．