Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

+

1+x

，若x，y滿(mǎn)足f（x+1）-f（y）＞0，則x²+y²-2x+1的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，利用線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解．

解答： 解：由

1-x≥0 1+x≥0

，得-1≤x≤1，
故函數(shù)的定義域?yàn)閇-1，1]，
f（-x）=

1-x

+

1+x

=f（x），
則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-

1

1-x

+

1

1+x

＜0，
即此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
則f（x+1）-f（y）＞0等價(jià)為f（x+1）＞f（y），
即f（|x+1|）＞f（|y|），
即

-1≤x+1≤1 -1≤y≤1 |x+1|＞|y|

，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
x²+y²-2x+1=（x-1）²+y²的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)Q（1，0）的距離的平方，
由圖象可知，OQ的距離最小為1，AQ或BQ的距離最大，此時(shí)最大值為（-2-1）²+1²=10，
故x²+y²-2x+1的取值范圍是（1，10），
故答案為：（1，10）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．