精英家教網(wǎng)如圖，ABCD是邊長為2a的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=a，G是EF的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B-AC-G的大�。�
分析：法一：（Ⅰ）要證平面AGC⊥平面BGC，只需證明，平面AGC內(nèi)的直線AG，垂直平面BGC內(nèi)的兩條相交直線BC、BG即可．
（Ⅱ）作BH⊥GC，垂足為H，說明∠BGH是BG與平面AGC所成的角，解三角形BGH，求GB與平面AGC所成角的大��；
（Ⅲ）BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足為O，連接HO，說明∠BOH為二面角B-AC-G的平面角，解△CBG求二面角B-AC-G的大�。�
法二：以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
（Ⅰ）求出向量
AG
，
BG
，
BC
，計(jì)算
AG
•
BG
=0，
AG
•
BC
=0證明AG⊥平面BGC，即可．
（Ⅱ）求出平面AGC的一個法向量n，以及
BG
，利用sinθ=
|
BG
•n|
|
BG
|•|n|
，求GB與平面AGC所成角的大��；
（Ⅲ）求出平面ABCD的一個法向量，平面AGC的一個法向量n，由|cosα|=
|
n
•
AF
|
|
AF
|•|n|
，求二面角B-AC-G的大小．
解答：精英家教網(wǎng)解：解法一：（Ⅰ）∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
又二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥平面ABEF．
∵AG?平面ABEF，
∴CB⊥AG．
又AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，
∴AG=BG=
2
a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴BG⊥AG又BC∩BG=B，
∴AG⊥平面CBG，
而AG?平面AGC，故平面AGC⊥平面BGC．（5分）
（Ⅱ）如圖，由（Ⅰ）知平面AGC⊥平面BGC，
且交于GC，在平面BGC內(nèi)作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC．
∴∠BGH是BG與平面AGC所成的角．（7分）
∴在Rt△CBG中，BG=
2
a，∴tanBGH=
CB
BG
=
2a
2
a
=
2
．
∴∠BGH=arctan
2
．
即BG與平面AGC所成的角為arctan
2
．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ），BH⊥平面AGC．作BO⊥AC，垂足為O，連接HO，則HO⊥AC，
∴∠BOH為二面角B-AC-G的平面角．（11分）
∵在Rt△ABC中，BO=
2
a，在Rt△CBG中，BH=
BC•BG
CG
=
2a•
2
a
6
a
=
2
3
3
a．
∴在Rt△BOH中，sinBOH=
BH
BO
=
6
3
，∠BOH=arcsin
6
3
．（13分）
即二面角B-AC-G的大小為arcsin
6
3
．（14分）

解法二：
如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，精英家教網(wǎng)
則A（0，0，0），B（0，2a，0），C（0，2a，2a），G（a，a，0），F(xiàn)（a，0，0）．
（Ⅰ）
AG
=（a，a，0），
BG
=
（a，-a，0），
BC
=（0，0，2a），
∴
AG
•
BG
=（a，a，0）•（a，-a，0）=0，
AG
•
BC
=（a，a，0）•（0，0，2a）=0．
∴AG⊥BG，AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCG，又AG?平面ACG，
故平面ACG⊥平面BCG．（5分）
（Ⅱ）設(shè)GB與平面AGC所成角為θ．
由題意可得
AG
=（a，a，0），
AC
=（0，2a，2a），
BG
=（a，-a，0）．
設(shè)平面AGC的一個法向量為n=（x，y，1），
由
AG
•n=0
AC
•n=0
?
ax+ay=0
2ay+2a=0
?
x=1
y=-1
?n=(1，-1，1)．
∴sinθ=
|
BG
•n|
|
BG
|•|n|
=
2a
2
a•
3
=
6
3
．
∴GB與平面AGC所成角的大小為arcsin
6
3
（9分）
（Ⅲ）因n=（1，-1，1）是平面AGC的一個法向量，
又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的一個法向量
AF
=（a，0，0），
∴設(shè)n與
AF
的夾角為α，得|cosα|=
|
n
•
AF
|
|
AF
|•|n|
=
a
3
a
=
3
3
，
∴二面角B-AC-G的大小為arccos
3
3
．（14分）
點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直，直線與平面所成角及二面角的求法，考查計(jì)算能力，空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
（1）求cos＜
AB
，
PD
＞的值；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求|
EF
|的值；
（3）求二面角P-BC-D的大小．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是線段AD的中點(diǎn)，三棱錐F-OBC的體積為
23
，
（1）求證：OF⊥面FBC；
（2）求二面角B-OF-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•寧城縣模擬）如圖，ABCD是邊長為1的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點(diǎn)E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1，B1C1，C1D1分別與曲線S切于點(diǎn)P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面積的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案