Question

13．證明：C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2ⁿ．

Answer 1

分析 在二項(xiàng)定理中，令a=1、b=1，化簡(jiǎn)可得C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$的值，命題得證．

解答 證明：在展開(kāi)式中（a+b）ⁿ=C${\;}_{n}^{0}$aⁿ+C${\;}_{n}^{1}$a^n-1b+…+${C}_{n}^{r}$a^n-rb^r+…+C${\;}_{n}^{n}$bⁿ（n∈N⁺）中，
令a=1，b=1，則（1+1）n=C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$，
即C${\;}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$=2ⁿ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．