Question

2．設(shè)向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（cos2i°，1）$\overrightarrow{_{i}}$=（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$），記號$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=k}$a_i表示a_ka_k+1a_k+2…a_n，則$\underset{\stackrel{45}{π}}{i=1}$（$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{_{i}}}$+1）的值為2²³．

Answer 1

分析 通過向量數(shù)量積的坐標運算、二倍角公式可知$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{_{i}}$=$\frac{cosi°}{sini°}$，通過輔助角公式可知$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{_{i}}}$+1=$\sqrt{2}$•$\frac{sin（45+i）°}{cosi°}$，利用一個正角的正弦值等于其余角的余弦值可知所求值為$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$•$\frac{sin89°}{cos1°}$•$\frac{sin88°}{cos2°}$•…•$\frac{sin46°}{cos44°}$=2²³．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{{a}_{i}}$=（cos2i°，1），$\overrightarrow{_{i}}$=（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$），
∴$\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{_{i}}$=（cos2i°，1）•（$\frac{1}{sin2i°}$，$\frac{1}{sin2i°}$）
=$\frac{1+cos2i°}{sin2i°}$
=$\frac{cosi°}{sini°}$，
∴$\frac{1}{\overrightarrow{{a}_{i}}•\overrightarrow{_{i}}}$+1=$\frac{sini°+cosi°}{cosi°}$=$\sqrt{2}$•$\frac{sin（45+i）°}{cosi°}$，
∴所求值為$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin46°sin47°sin48°…sin90°}{cos1°cos2°cos3°…cos45°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$•$\frac{sin89°}{cos1°}$•$\frac{sin88°}{cos2°}$•…•$\frac{sin46°}{cos44°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{sin90°}{cos45°}$
=$（\sqrt{2}）^{45}$•$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$（\sqrt{2}）^{46}$
=2²³，
故答案為：2²³．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列的綜合題，涉及向量數(shù)量積、二倍角公式、輔助角公式、互為余角的正弦、余弦關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．